与えられた6つの3次方程式の解を求める問題です。 (1) $x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0$ (2) $2x^3 - 4x^2 + 5x - 3 = 0$ (3) $x^3 - 3x^2 - 16 = 0$ (4) $x^3 + x^2 - 7x - 15 = 0$ (5) $x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ (6) $2x^3 - x^2 - x + 2 = 0$

1. 問題の内容

与えられた6つの3次方程式の解を求める問題です。

(1) $x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0$

(2) $2x^3 - 4x^2 + 5x - 3 = 0$

(3) $x^3 - 3x^2 - 16 = 0$

(4) $x^3 + x^2 - 7x - 15 = 0$

(5) $x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$

(6) $2x^3 - x^2 - x + 2 = 0$

2. 解き方の手順

各3次方程式に対して、因数定理を利用して解を求めます。

因数定理とは、多項式 $P(x)$ において、$P(a) = 0$ ならば、$P(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つというものです。

(1) $x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0$

$P(x) = x^3 + 3x^2 + 5x + 3$

$P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 5(-1) + 3 = -1 + 3 - 5 + 3 = 0$

よって、$x+1$ を因数に持ちます。

$x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = (x+1)(x^2 + 2x + 3) = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

したがって、$x = -1, -1 + i\sqrt{2}, -1 - i\sqrt{2}$

(2) $2x^3 - 4x^2 + 5x - 3 = 0$

$P(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 3$

$P(1) = 2(1)^3 - 4(1)^2 + 5(1) - 3 = 2 - 4 + 5 - 3 = 0$

よって、$x-1$ を因数に持ちます。

$2x^3 - 4x^2 + 5x - 3 = (x-1)(2x^2 - 2x + 3) = 0$

$2x^2 - 2x + 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{4} = \frac{1 \pm i\sqrt{5}}{2}$

したがって、$x = 1, \frac{1 + i\sqrt{5}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{5}}{2}$

(3) $x^3 - 3x^2 - 16 = 0$

$P(x) = x^3 - 3x^2 - 16$

$P(4) = 4^3 - 3(4^2) - 16 = 64 - 48 - 16 = 0$

よって、$x-4$ を因数に持ちます。

$x^3 - 3x^2 - 16 = (x-4)(x^2 + x + 4) = 0$

$x^2 + x + 4 = 0$ を解くと、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2}$

したがって、$x = 4, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{2}$

(4) $x^3 + x^2 - 7x - 15 = 0$

$P(x) = x^3 + x^2 - 7x - 15$

$P(3) = 3^3 + 3^2 - 7(3) - 15 = 27 + 9 - 21 - 15 = 0$

よって、$x-3$ を因数に持ちます。

$x^3 + x^2 - 7x - 15 = (x-3)(x^2 + 4x + 5) = 0$

$x^2 + 4x + 5 = 0$ を解くと、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2} = -2 \pm i$

したがって、$x = 3, -2 + i, -2 - i$

(5) $x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$

$P(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

$P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 3(2) - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0$

よって、$x-2$ を因数に持ちます。

$x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = (x-2)(x^2 - x + 1) = 0$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解くと、$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = 2, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

(6) $2x^3 - x^2 - x + 2 = 0$

$P(x) = 2x^3 - x^2 - x + 2$

$P(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 2 = -2 - 1 + 1 + 2 = 0$

よって、$x+1$ を因数に持ちます。

$2x^3 - x^2 - x + 2 = (x+1)(2x^2 - 3x + 2) = 0$

$2x^2 - 3x + 2 = 0$ を解くと、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$

したがって、$x = -1, \frac{3 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, -1 + i\sqrt{2}, -1 - i\sqrt{2}$

(2) $x = 1, \frac{1 + i\sqrt{5}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{5}}{2}$

(3) $x = 4, \frac{-1 + i\sqrt{15}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{15}}{2}$

(4) $x = 3, -2 + i, -2 - i$

(5) $x = 2, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

(6) $x = -1, \frac{3 + i\sqrt{7}}{4}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{4}$