関数 $y = 2x^2 - 6x + 1$ において、 $0 \le x \le 5$ の範囲での $y$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 6x + 1$ において、 $0 \le x \le 5$ の範囲での $y$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 6x + 1 = 2(x^2 - 3x) + 1 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{9}{4}\right) + 1 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + \frac{2}{2} = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{7}{2}$

したがって、$y = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{7}{2}$ となります。

この関数は、$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $-\frac{7}{2}$ をとります。

範囲 $0 \le x \le 5$ において、軸 $x = \frac{3}{2}$ は範囲内に含まれています。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 6(0) + 1 = 1$

$x = 5$ のとき、$y = 2(5)^2 - 6(5) + 1 = 2(25) - 30 + 1 = 50 - 30 + 1 = 21$

$x=0$ と $x=5$ のうち、$x=5$ のとき$y$の値が最大になります。

したがって、最大値は $21$ です。

$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値は $-\frac{7}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：21

最小値：$-\frac{7}{2}$