原点をOとする座標平面上に直線 $l: 4x - 3y = 0$ がある。直線 $l$ の $x>0$ の部分にある点Aは、$OA = 2$ を満たしている。 (1) 点Aの座標を求めよ。 (2) 中心が第1象限にあり、直線 $l$ と点Aで接し、$x$軸にも接する円をKとする。円Kの方程式を求めよ。 (3) (2)の円Kの中心をBとする。円Kの周上に点Pをとり、$\triangle OBP$ をつくる。$\triangle OBP$ の重心をGとすると、$OG = \frac{\sqrt{13}}{3}$ になるとき、点Gの座標を求めよ。

1. 問題の内容

原点をOとする座標平面上に直線 $l: 4x - 3y = 0$ がある。直線 $l$ の $x>0$ の部分にある点Aは、$OA = 2$ を満たしている。

(1) 点Aの座標を求めよ。

(2) 中心が第1象限にあり、直線 $l$ と点Aで接し、$x$軸にも接する円をKとする。円Kの方程式を求めよ。

(3) (2)の円Kの中心をBとする。円Kの周上に点Pをとり、$\triangle OBP$ をつくる。$\triangle OBP$ の重心をGとすると、$OG = \frac{\sqrt{13}}{3}$ になるとき、点Gの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。

点Aは直線 $l: 4x - 3y = 0$ 上にあるので、$A(3t, 4t)$ とおくことができる。ここで、$t>0$ である。

$OA = 2$ より、

$OA^2 = (3t)^2 + (4t)^2 = 9t^2 + 16t^2 = 25t^2 = 4$

$t^2 = \frac{4}{25}$

$t = \frac{2}{5}$

よって、点Aの座標は $A(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ である。

(2) 円Kの方程式を求める。

円Kの中心をB(a, r)とする。ただし、$r$ は半径である。

円Kはx軸に接するので、$y$座標は半径の値と等しくなる。また、円Kの中心は第1象限にあるため、$a>0$, $r>0$である。

円Kの方程式は $(x-a)^2 + (y-r)^2 = r^2$ と表せる。

円Kは点A$(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$ で直線 $l: 4x - 3y = 0$ に接するので、

点Aは円K上にある。

$(\frac{6}{5} - a)^2 + (\frac{8}{5} - r)^2 = r^2$

$(\frac{6}{5} - a)^2 + (\frac{8}{5})^2 - \frac{16}{5}r + r^2 = r^2$

$(\frac{6}{5} - a)^2 = \frac{16}{5}r - \frac{64}{25}$

円Kの中心B(a,r)から直線 $l: 4x - 3y = 0$ までの距離は半径 $r$ に等しいので、点と直線の距離の公式より

$\frac{|4a - 3r|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = r$

$\frac{|4a - 3r|}{5} = r$

$|4a - 3r| = 5r$

$4a - 3r = 5r$ または $4a - 3r = -5r$

$4a = 8r$ または $4a = -2r$

$a = 2r$ または $a = -\frac{1}{2}r$

$a>0, r>0$ なので、$a = 2r$ である。

$(\frac{6}{5} - 2r)^2 = \frac{16}{5}r - \frac{64}{25}$

$\frac{36}{25} - \frac{24}{5}r + 4r^2 = \frac{16}{5}r - \frac{64}{25}$

$4r^2 - \frac{40}{5}r + \frac{100}{25} = 0$

$4r^2 - 8r + 4 = 0$

$r^2 - 2r + 1 = 0$

$(r-1)^2 = 0$

$r = 1$

したがって、$a = 2r = 2$

よって円Kの方程式は $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1$

(3) 点Gの座標を求める。

円Kの中心をB(2,1)とする。円Kの周上の点Pを $(x_P, y_P)$ とする。

$\triangle OBP$ の重心Gの座標を $(x_G, y_G)$ とすると

$x_G = \frac{0 + 2 + x_P}{3} = \frac{2 + x_P}{3}$

$y_G = \frac{0 + 1 + y_P}{3} = \frac{1 + y_P}{3}$

$OG = \frac{\sqrt{13}}{3}$ なので、

$OG^2 = (\frac{2 + x_P}{3})^2 + (\frac{1 + y_P}{3})^2 = (\frac{\sqrt{13}}{3})^2$

$(2 + x_P)^2 + (1 + y_P)^2 = 13$

円K上の点Pは $(x_P - 2)^2 + (y_P - 1)^2 = 1$ を満たす。

$(2 + x_P)^2 + (1 + y_P)^2 = 13$ より

$4 + 4x_P + x_P^2 + 1 + 2y_P + y_P^2 = 13$

$x_P^2 + y_P^2 + 4x_P + 2y_P = 8$

$(x_P - 2)^2 + (y_P - 1)^2 = 1$ より

$x_P^2 - 4x_P + 4 + y_P^2 - 2y_P + 1 = 1$

$x_P^2 + y_P^2 - 4x_P - 2y_P = -4$

$x_P^2 + y_P^2 + 4x_P + 2y_P - (x_P^2 + y_P^2 - 4x_P - 2y_P) = 8 - (-4)$

$8x_P + 4y_P = 12$

$2x_P + y_P = 3$

$y_P = 3 - 2x_P$

$(x_P - 2)^2 + (3 - 2x_P - 1)^2 = 1$

$(x_P - 2)^2 + (2 - 2x_P)^2 = 1$

$x_P^2 - 4x_P + 4 + 4 - 8x_P + 4x_P^2 = 1$

$5x_P^2 - 12x_P + 8 = 1$

$5x_P^2 - 12x_P + 7 = 0$

$(5x_P - 7)(x_P - 1) = 0$

$x_P = \frac{7}{5}$ または $x_P = 1$

$x_P = \frac{7}{5}$ のとき $y_P = 3 - 2(\frac{7}{5}) = 3 - \frac{14}{5} = \frac{1}{5}$

$x_P = 1$ のとき $y_P = 3 - 2(1) = 1$

$x_G = \frac{2 + x_P}{3}$

$y_G = \frac{1 + y_P}{3}$

$x_P = \frac{7}{5}, y_P = \frac{1}{5}$ のとき

$x_G = \frac{2 + \frac{7}{5}}{3} = \frac{\frac{17}{5}}{3} = \frac{17}{15}$

$y_G = \frac{1 + \frac{1}{5}}{3} = \frac{\frac{6}{5}}{3} = \frac{2}{5}$

$x_P = 1, y_P = 1$ のとき

$x_G = \frac{2 + 1}{3} = 1$

$y_G = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、Gの座標は $(\frac{17}{15}, \frac{2}{5})$ または $(1, \frac{2}{3})$

3. 最終的な答え

(1) A$(\frac{6}{5}, \frac{8}{5})$

(2) $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 1$

(3) G$(\frac{17}{15}, \frac{2}{5})$ または G$(1, \frac{2}{3})$