四面体OABCにおいて、$OA = OB = BC = \sqrt{3}$、$OC = CA = AB = \sqrt{2}$である。ベクトル $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ とおくとき、 $|\vec{a} - \vec{b}|^2$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$, $\vec{b} \cdot \vec{c}$, $\vec{c} \cdot \vec{a}$ の値を求める問題。

幾何学ベクトル四面体内積空間ベクトル

2025/8/11

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、

OA = OB = BC = \sqrt{3}

、

OC = CA = AB = \sqrt{2}

である。

ベクトル

\vec{a} = \overrightarrow{OA}

\vec{b} = \overrightarrow{OB}

\vec{c} = \overrightarrow{OC}

とおくとき、

|\vec{a} - \vec{b}|^2

\vec{a} \cdot \vec{b}

\vec{b} \cdot \vec{c}

\vec{c} \cdot \vec{a}

の値を求める問題。

まず、

|\vec{a} - \vec{b}|^2

を計算する。

|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2

|\vec{a}|^2 = OA^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

|\vec{b}|^2 = OB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

AB^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2

2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 3 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 3 = 6 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}

2\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 2 = 4

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2

|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 3 - 2(2) + 3 = 3 - 4 + 3 = 2

次に、

\vec{b} \cdot \vec{c}

を求める。

BC^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

|\vec{c}|^2 = OC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2

|\vec{b}|^2 = OB^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

3 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{b}|^2 = 2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 3 = 5 - 2\vec{b} \cdot \vec{c}

2\vec{b} \cdot \vec{c} = 5 - 3 = 2

\vec{b} \cdot \vec{c} = 1

最後に、

\vec{c} \cdot \vec{a}

を求める。

CA^2 = |\vec{a} - \vec{c}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2

|\vec{a}|^2 = OA^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

|\vec{c}|^2 = OC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2

2 = |\vec{a} - \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2 = 3 - 2\vec{a} \cdot \vec{c} + 2 = 5 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}

2\vec{a} \cdot \vec{c} = 5 - 2 = 3

\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{2}

|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2

\vec{b} \cdot \vec{c} = 1

\vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{3}{2}