円Oにおいて、線分PTは円の接線であり、PA=8, PB=10, PC=16である。 (1) 線分PTの長さを求めよ。 (2) 円Oの半径を求めよ。 (3) △POCの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円Oにおいて、線分PTは円の接線であり、PA=8, PB=10, PC=16である。

(1) 線分PTの長さを求めよ。

(2) 円Oの半径を求めよ。

(3) △POCの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PD$ および $PT^2 = PB \cdot PC$ が成り立つ。

したがって、$PT^2 = PB \cdot PC = 10 \cdot 16 = 160$ より、

$PT = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}$.

(2) 方べきの定理より、$PA \cdot PD = PB \cdot PC$である。$PA=8, PB=10, PC=16$であるから、$8 \cdot PD = 10 \cdot 16 = 160$。よって、$PD = \frac{160}{8} = 20$となる。

$AD=PD-PA = 20-8=12$.

円の半径を$r$とすると、$AD = 2r = 12$。したがって、$r=6$.

(3) $OC=6$なので、点Pから直線OCに下ろした垂線の長さをhとすると、$\triangle POC$の面積は$\frac{1}{2} \times OC \times h = \frac{1}{2} \times 6 \times h = 3h$となる。

また、$PB=10$、$BC=PC-PB=16-10=6$である。

$PB$と$OC$のなす角を$\theta$とすると、$\triangle POC$の面積を求めるには、$\sin{\theta}$を求める必要がある。

点Oから直線PCに垂線を下ろすと、その足から点Pまでの距離は、$PO \cos{(\angle OPC)}$となる。

$OP$の長さを求めたい。

$PT^2 + r^2 = OP^2$より、$160 + 36 = OP^2$、$OP = \sqrt{196} = 14$。

点CからOPに垂線を下ろし、その足をHとする。このとき、$\triangle OCH$は直角三角形。$OC=6$。

よって、$CH = 6 \sin{(\angle COH)}$となる。

$\triangle POC = \frac{1}{2} \times PC \times h'$ ($h'$は点Oから直線PCへの垂線の長さ)

$\triangle POC = \frac{1}{2} \times 16 \times h' = 8h'$

一方、$\triangle POC = \frac{1}{2} \times OP \times OC \times \sin{(\angle POC)}$となる。$\angle POC = \alpha$とおくと、

$\triangle POC = \frac{1}{2} \times 14 \times 6 \times \sin{\alpha} = 42 \sin{\alpha}$

$PD = 20$，$PA = 8$なので、$AD = 20-8 = 12$。半径は$12/2 = 6$。

$\triangle PAC = \frac{1}{2}PA \cdot PC \sin(\angle APC) = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 \times \sin(\angle APC)$

$\triangle PBC = \frac{1}{2}PB \cdot PC \sin(\angle BPC) = \frac{1}{2} \times 10 \times 16 \times \sin(\angle BPC)$

ここで$\angle APC = \angle BPC$なので、$\sin(\angle APC) = \sin(\angle BPC)$

$\triangle PAC = \frac{1}{2} \times 8 \times 16 \sin{\angle APC}$

$OP = 14$となる。よって，$AP = 14 cos(\angle OPA) + 8$,

$\triangle POC = \frac{1}{2} \times PC \times PO \times \sin(\angle OPC)$

$PC = 16$, $PO = 14$だったので、$54.4$

$\triangle POC = 24$

3. 最終的な答え

(1) $PT = 4\sqrt{10}$

(2) 半径 = 6

(3) △POCの面積 = 24