円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=9cm, BC=12cm, CD=DA=6cmとする。 (1) BE:EDを求める。 (2) △ABEと△DBCの面積の比を求める。 (3) 線分DEの長さを求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=9cm, BC=12cm, CD=DA=6cmとする。

(1) BE:EDを求める。

(2) △ABEと△DBCの面積の比を求める。

(3) 線分DEの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle BAC = \angle BDC$、$\angle ABD = \angle ACD$が成り立つ。

また、$DA = DC = 6cm$より$\triangle ADC$は二等辺三角形なので、$\angle DAC = \angle DCA$である。

$\angle BAC = \angle BDC = x$、$\angle ABD = \angle ACD = y$とおく。

$\triangle ABE$と$\triangle DBC$において、$\angle ABE = \angle DBC$（共通）、$\angle BAE = \angle BDC = x$より、$\triangle ABE \sim \triangle DBC$である。

$\triangle ABE \sim \triangle DBC$より、$BE : AB = CD : BC$

$BE : 9 = 6 : 12$

$12BE = 54$

$BE = \frac{54}{12} = \frac{9}{2}$

$\triangle AED$と$\triangle BEC$において、$\angle EAD = \angle ECB$、$\angle EDA = \angle EBA$より、$\triangle AED \sim \triangle BEC$

$AE : BE = DE : CE$

$BE:ED = BC:AD$

$BE:ED = 12:6 = 2:1$

(2)

$\triangle ABE \sim \triangle DBC$なので、面積比は相似比の二乗に等しい。

$AB : DB = 9 : 12 = 3 : 4$

面積比は$3^2 : 4^2 = 9 : 16$

(3)

(1)より、$BE = \frac{9}{2}$であり、$BE:ED = 2:1$なので、$ED = \frac{BE}{2} = \frac{9/2}{2} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $BE:ED = 2:1$

(2) $\triangle ABE : \triangle DBC = 9:16$

(3) $DE = \frac{9}{4} \text{cm}$