(1) $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 15^\circ$, $BC = 4$ のとき、$CA$ を求める。 (2) $AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 3$ のとき、$\angle A$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\angle A = 30^\circ$, $\angle C = 15^\circ$, $BC = 4$ のとき、$CA$ を求める。

(2) $AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 3$ のとき、$\angle A$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\angle B$ を求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 15^\circ = 135^\circ$

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{CA}{\sin 135^\circ}$

$CA = \frac{4 \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CA = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \sqrt{2}$

(2)

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$7^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos A$

$49 = 25 + 9 - 30 \cos A$

$49 = 34 - 30 \cos A$

$15 = -30 \cos A$

$\cos A = -\frac{15}{30} = -\frac{1}{2}$

$\cos A = -\frac{1}{2}$ となる $A$ は $120^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $CA = 4\sqrt{2}$

(2) $\angle A = 120^\circ$