(1) $AB = 4$, $BC = 3$, $\angle ABC = 30^\circ$ の三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求める。 (2) $AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 3\sqrt{2}$ の三角形 $ABC$ の面積 $T$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $AB = 4$, $BC = 3$, $\angle ABC = 30^\circ$ の三角形 $ABC$ の面積 $S$ を求める。

(2) $AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 3\sqrt{2}$ の三角形 $ABC$ の面積 $T$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いる。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin{\angle ABC}$

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \sin{30^\circ}$

$\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2}$

$S = 3$

(2) ヘロンの公式を用いる。

まず、$s = \frac{AB + BC + CA}{2}$ を計算する。

$s = \frac{5 + 7 + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{12 + 3\sqrt{2}}{2} = 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

ヘロンの公式 $T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ に代入する。

$T = \sqrt{s(s-5)(s-7)(s-3\sqrt{2})}$

しかし、このままでは計算が大変なので、余弦定理を利用する。

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - CA^2}{2 \times AB \times BC}$

$\cos B = \frac{5^2 + 7^2 - (3\sqrt{2})^2}{2 \times 5 \times 7}$

$\cos B = \frac{25 + 49 - 18}{70} = \frac{56}{70} = \frac{4}{5}$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$ より、

$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin B = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

したがって、$T = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin B = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{3}{5} = \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 3$

(2) $T = \frac{21}{2}$