$x$の2次方程式 $(m-2)x^2 - 2(m+1)x + m+3 = 0$ が実数解を持つような定数$m$の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$の2次方程式 $(m-2)x^2 - 2(m+1)x + m+3 = 0$ が実数解を持つような定数$m$の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式が実数解を持つ条件を考えます。

まず、$m-2 = 0$、つまり、$m=2$のとき、与えられた方程式は2次方程式ではなくなり、

$-2(2+1)x + 2+3 = 0$、つまり、$-6x + 5 = 0$ となり、$x = \frac{5}{6}$という実数解を持つので、$m=2$は条件を満たします。

次に、$m-2 \neq 0$、つまり、$m \neq 2$のとき、与えられた方程式は2次方程式なので、判別式$D$について、$D \geq 0$となることが実数解を持つ条件です。

判別式$D$は、

$D = (-2(m+1))^2 - 4(m-2)(m+3) = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + m - 6) = 4(m^2 + 2m + 1 - m^2 - m + 6) = 4(m+7)$

したがって、$D \geq 0$となるためには、$4(m+7) \geq 0$、つまり、$m+7 \geq 0$、$m \geq -7$が必要です。

$m \neq 2$と$m \geq -7$を合わせると、$m \geq -7$となります。

$m=2$の場合も実数解を持つので、$m \geq -7$の範囲に含まれます。

3. 最終的な答え

$m \geq -7$