直角三角形ABCにおいて、点Pは点Aを毎秒3cmで辺AB上をBまで、点Qは点Aを毎秒4cmで辺AC上をCまで移動する。x秒後の三角形APQの面積をy $cm^2$とする。 (1) xの変域を求め、yをxの式で表せ。 (2) 点P, Qが点Aを出発してから3秒後の三角形APQの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点Pは点Aを毎秒3cmで辺AB上をBまで、点Qは点Aを毎秒4cmで辺AC上をCまで移動する。x秒後の三角形APQの面積をy $cm^2$とする。

(1) xの変域を求め、yをxの式で表せ。

(2) 点P, Qが点Aを出発してから3秒後の三角形APQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが点Aから点Bに到達するまでの時間を求める。AB = 15 cm、点Pの速度は3 cm/秒なので、かかる時間は $15 / 3 = 5$ 秒。

点Qが点Aから点Cに到達するまでの時間を求める。AC = 20 cm、点Qの速度は4 cm/秒なので、かかる時間は $20 / 4 = 5$ 秒。

よって、xの変域は $0 \leq x \leq 5$。

三角形APQの面積yは、APを底辺、AQを高さと考えると、

$y = \frac{1}{2} \times AP \times AQ$

AP = 3x, AQ = 4xなので、

$y = \frac{1}{2} \times 3x \times 4x = \frac{1}{2} \times 12x^2 = 6x^2$

(2)

x=3のとき、

$y = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq x \leq 5$

$y = 6x^2$

(2) △APQ = 54 $cm^2$