8で割っても12で割っても3余る、最も大きい2桁の整数を求めよ。

1. 問題の内容

8で割っても12で割っても3余る、最も大きい2桁の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

求める整数を$x$とすると、$x$は8で割っても12で割っても3余る数なので、$x-3$は8でも12でも割り切れる数となります。

つまり、$x-3$は8と12の公倍数です。

8と12の最小公倍数を求めます。

8 = $2^3$

12 = $2^2 \times 3$

最小公倍数は、$2^3 \times 3 = 24$です。

したがって、$x-3$は24の倍数です。

$x-3 = 24n$ (nは整数)

$x = 24n + 3$

$x$は2桁の整数で最も大きいものを求めたいので、$x < 100$となるような最大の$n$を求めます。

$24n + 3 < 100$

$24n < 97$

$n < \frac{97}{24} \approx 4.04$

$n$は整数なので、$n = 4$

$x = 24 \times 4 + 3 = 96 + 3 = 99$

3. 最終的な答え

99