$\frac{19}{36}$ と $4\frac{1}{8}$ に同じ分数Aをかけたとき、それぞれの積が整数になるような、最も小さい分数Aを求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{19}{36}$ と $4\frac{1}{8}$ に同じ分数Aをかけたとき、それぞれの積が整数になるような、最も小さい分数Aを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$4\frac{1}{8}$ を仮分数に変換します。

$4\frac{1}{8} = \frac{4 \times 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}$

求める分数Aを $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{19}{36} \times \frac{x}{y}$ と $\frac{33}{8} \times \frac{x}{y}$ が整数になるためには、$\frac{19x}{36y}$ と $\frac{33x}{8y}$ が整数になる必要があります。

すなわち、$x$ は36と8の公倍数である必要があり、$y$ は19と33の公約数である必要があります。

Aを最も小さい分数にするためには、$x$ は36と8の最小公倍数、$y$ は19と33の最大公約数である必要があります。

36と8の最小公倍数を求めます。

36 = $2^2 \times 3^2$

8 = $2^3$

最小公倍数 = $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$

19と33の最大公約数を求めます。

19は素数であり、33は3と11の積なので、19と33の最大公約数は1です。

したがって、A = $\frac{72}{1}$ = 72

3. 最終的な答え

72