問題10と問題11のそれぞれの小問について、与えられた数列の和を求める。 問題10: (1) $1+2+3+ \dots + 80$ (2) $1+2+3+ \dots + 199$ 問題11: (1) $1+3+5+ \dots + 19$ (2) $1+3+5+ \dots + 45$

1. 問題の内容

問題10と問題11のそれぞれの小問について、与えられた数列の和を求める。

問題10:

(1) $1+2+3+ \dots + 80$

(2) $1+2+3+ \dots + 199$

問題11:

(1) $1+3+5+ \dots + 19$

(2) $1+3+5+ \dots + 45$

2. 解き方の手順

問題10：

(1) これは等差数列の和であり、初項1、末項80、項数80である。等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いる。

$S = \frac{80(1+80)}{2} = \frac{80 \times 81}{2} = 40 \times 81 = 3240$

(2) これは等差数列の和であり、初項1、末項199、項数199である。等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いる。

$S = \frac{199(1+199)}{2} = \frac{199 \times 200}{2} = 199 \times 100 = 19900$

問題11：

(1) これは奇数の数列であり、$1+3+5+ \dots + (2n-1) = n^2$ を利用する。末項が19なので、$2n-1=19$ を満たす $n$ を求める。

$2n = 20$

$n=10$

よって、和は $n^2 = 10^2 = 100$

(2) これは奇数の数列であり、$1+3+5+ \dots + (2n-1) = n^2$ を利用する。末項が45なので、$2n-1=45$ を満たす $n$ を求める。

$2n = 46$

$n=23$

よって、和は $n^2 = 23^2 = 529$

3. 最終的な答え

問題10:

(1) 3240

(2) 19900

問題11:

(1) 100

(2) 529