与えられた連立不等式を解く問題です。連立不等式は次の通りです。 $2x - 5 \le 9x + 3$ $x^2 - 2x - 7 \ge 0$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解く問題です。連立不等式は次の通りです。

$2x - 5 \le 9x + 3$

$x^2 - 2x - 7 \ge 0$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を解きます。

$2x - 5 \le 9x + 3$

$-7x \le 8$

$x \ge -\frac{8}{7}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$x^2 - 2x - 7 \ge 0$

この二次不等式を解くために、$x^2 - 2x - 7 = 0$の解を求めます。解の公式を用いると、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$x = 1 \pm 2\sqrt{2}$

したがって、$x^2 - 2x - 7 \ge 0$の解は、$x \le 1 - 2\sqrt{2}$または$x \ge 1 + 2\sqrt{2}$です。

ここで、$2\sqrt{2} \approx 2.828$なので、$1 - 2\sqrt{2} \approx -1.828$、$1 + 2\sqrt{2} \approx 3.828$となります。

一方、$-\frac{8}{7} \approx -1.143$です。

連立不等式の解は、二つの不等式の解の共通部分です。

$x \ge -\frac{8}{7}$と$x \le 1 - 2\sqrt{2}$または$x \ge 1 + 2\sqrt{2}$の共通部分を考えます。

$-\frac{8}{7} > 1 - 2\sqrt{2}$ なので、$1-2\sqrt{2} \le x$ は解なし。

$x \ge -\frac{8}{7}$と$x \ge 1 + 2\sqrt{2}$の共通部分は、$x \ge 1 + 2\sqrt{2}$です。

3. 最終的な答え

$x \ge 1 + 2\sqrt{2}$