与えられた式 $a^2b - 2ab^2 + b^3 + bc - ca$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b - 2ab^2 + b^3 + bc - ca$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を注意深く観察し、共通因子を見つけ出すか、既知の因数分解パターンを利用できるかを検討します。この式の場合、最初の３つの項 $a^2b - 2ab^2 + b^3$ に注目すると、$b$ が共通因子であることと、$(a-b)^2$ の展開式の一部に似ていることがわかります。

まず、$a^2b - 2ab^2 + b^3$ から $b$ をくくりだすと、

$b(a^2 - 2ab + b^2)$

となります。さらに、$a^2 - 2ab + b^2$ は $(a-b)^2$ と因数分解できます。したがって、最初の3つの項は

$b(a-b)^2$

と因数分解できます。

元の式は次のようになります。

$b(a-b)^2 + bc - ca$

次に、$bc - ca$ から $c$ をくくりだすと、$c(b-a) = -c(a-b)$ となります。したがって、元の式は

$b(a-b)^2 - c(a-b)$

となります。

ここで、$a-b$ が共通因子であることに気づきます。したがって、$a-b$ でくくりだすと、

$(a-b)[b(a-b) - c] = (a-b)(ab - b^2 - c)$

となります。

3. 最終的な答え

$(a-b)(ab-b^2-c)$