問題は、等比数列の和を求める問題です。具体的には、以下の2つの等比数列の和 $S$ を求めます。 (1) 1, 3, 9, 27, 81 (2) 320, -160, 80, -40, 20, -10, 5

1. 問題の内容

問題は、等比数列の和を求める問題です。具体的には、以下の2つの等比数列の和 $S$ を求めます。

(1) 1, 3, 9, 27, 81

(2) 320, -160, 80, -40, 20, -10, 5

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ (ただし、$r \neq 1$) を利用します。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

(1)

初項 $a = 1$, 公比 $r = 3$, 項数 $n = 5$ であるから、

$S = \frac{1 \cdot (3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121$

(2)

初項 $a = 320$, 公比 $r = -\frac{1}{2}$, 項数 $n = 7$ であるから、

$S = \frac{320 \cdot ((-\frac{1}{2})^7 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{320 \cdot (-\frac{1}{128} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{320 \cdot (-\frac{129}{128})}{-\frac{3}{2}} = 320 \cdot (-\frac{129}{128}) \cdot (-\frac{2}{3}) = 320 \cdot \frac{129}{128} \cdot \frac{2}{3} = \frac{320 \cdot 129 \cdot 2}{128 \cdot 3} = \frac{82560}{384} = \frac{645}{3} = 215$

3. 最終的な答え

(1) 121

(2) 215