与えられた定積分 $\int_{1}^{4} (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{1}^{4} (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分記号の中の関数を積分します。

$\int (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx = \frac{3}{5} \int x^2 dx + \frac{2}{5} \int x dx$

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2$

したがって、

$\int (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx = \frac{3}{5} (\frac{1}{3}x^3) + \frac{2}{5} (\frac{1}{2}x^2) + C = \frac{1}{5}x^3 + \frac{1}{5}x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (\frac{3}{5}x^2 + \frac{2}{5}x) dx = [\frac{1}{5}x^3 + \frac{1}{5}x^2]_1^4$

$= (\frac{1}{5}(4^3) + \frac{1}{5}(4^2)) - (\frac{1}{5}(1^3) + \frac{1}{5}(1^2))$

$= (\frac{64}{5} + \frac{16}{5}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

$= \frac{80}{5} - \frac{2}{5} = \frac{78}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{78}{5}$