与えられた計算問題を解き、答えを分数で求める。 問題は次の通りです。 $\frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10}$

1. 問題の内容

与えられた計算問題を解き、答えを分数で求める。

問題は次の通りです。

$\frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10}$

2. 解き方の手順

この問題は、部分分数分解を利用して解くことができます。

$\frac{1}{n \times (n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

という関係を利用します。

それぞれの項を部分分数に分解すると、以下のようになります。

$\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$

$\frac{1}{6 \times 7} = \frac{1}{6} - \frac{1}{7}$

$\frac{1}{7 \times 8} = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}$

$\frac{1}{8 \times 9} = \frac{1}{8} - \frac{1}{9}$

$\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

これらの式を元の式に代入すると、

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$

となり、途中の項が相殺されて、最初の項と最後の項だけが残ります。

したがって、

$\frac{1}{4} - \frac{1}{10}$

これを計算するために通分します。4と10の最小公倍数は20なので、

$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$

$\frac{1}{10} = \frac{2}{20}$

よって、

$\frac{5}{20} - \frac{2}{20} = \frac{3}{20}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{20}$