図のような直方体⑦、三角柱①、直方体③の体積に関する問題です。 (1) 三角柱①の体積を求める。 (2) 直方体⑦の高さを求める。 与えられた情報は以下の通りです。 - 三角柱①の高さは6cm - 直方体⑦の高さは直方体③の高さより2cm高い - 直方体⑦、三角柱①、直方体③の体積の合計は291 $cm^3$

1. 問題の内容

図のような直方体⑦、三角柱①、直方体③の体積に関する問題です。

(1) 三角柱①の体積を求める。

(2) 直方体⑦の高さを求める。

与えられた情報は以下の通りです。

- 三角柱①の高さは6cm

- 直方体⑦の高さは直方体③の高さより2cm高い

- 直方体⑦、三角柱①、直方体③の体積の合計は291 $cm^3$

2. 解き方の手順

(1) 三角柱①の体積を求める。

三角柱の底面は直角三角形CDEであり、底辺CEは4cm、高さCDは3cmです。

したがって、底面積は $4 \times 3 \div 2 = 6 cm^2$となります。

三角柱の高さは6cmなので、体積は $6 \times 6 = 36 cm^3$となります。

(2) 直方体⑦の高さを求める。

直方体⑦の高さ、直方体③の高さをそれぞれ$h_7$, $h_3$とします。

直方体⑦の高さは直方体③の高さより2cm高いので、$h_7 = h_3 + 2$となります。

直方体⑦の底面積は $7 \times 5 = 35 cm^2$なので、体積は $35 h_7$となります。

直方体③の底面積は $5 \times 6 = 30 cm^2$なので、体積は $30 h_3$となります。

直方体⑦、三角柱①、直方体③の体積の合計は291 $cm^3$なので、

$35 h_7 + 36 + 30 h_3 = 291$

$35 h_7 + 30 h_3 = 291 - 36 = 255$

$h_7 = h_3 + 2$を代入すると、

$35 (h_3 + 2) + 30 h_3 = 255$

$35 h_3 + 70 + 30 h_3 = 255$

$65 h_3 = 255 - 70 = 185$

$h_3 = 185 \div 65 = \frac{37}{13}$

$h_7 = \frac{37}{13} + 2 = \frac{37+26}{13} = \frac{63}{13}$

しかし、図に書き込まれている情報から、直方体⑦の高さは7cmのようです。

直方体⑦の高さを7cmとすると、$h_7 = 7$なので、$h_3 = 7-2 = 5$となります。

直方体⑦の体積は $35 \times 7 = 245 cm^3$

三角柱①の体積は 36 $cm^3$

直方体③の体積は $30 \times 5 = 150 cm^3$

これらの合計は $245 + 36 + 150 = 431 cm^3$となり、与えられた291 $cm^3$と異なります。

問題文のどこかに誤りがある可能性があります。

ここでは、図から読み取れる情報と、体積の合計が291 $cm^3$であるという条件を満たすように計算します。

直方体⑦の高さを$h$とおくと、直方体③の高さは$h-2$となります。

よって、

$35h + 36 + 30(h-2) = 291$

$35h + 36 + 30h - 60 = 291$

$65h = 291 + 60 - 36 = 315$

$h = 315/65 = 63/13 \approx 4.85$

これは図に示されている高さ（7cm）とは異なります。

もし仮に問題文の291を431とすると、

$35h + 36 + 30(h-2) = 431$

$35h + 36 + 30h - 60 = 431$

$65h = 431 + 60 - 36 = 455$

$h = 455/65 = 7$

となり、図の高さと一致します。

問題文の体積の合計が誤りである可能性が高いです。

ここでは、図から読み取れる7cmという値を前提として、解答します。

3. 最終的な答え

(1) 三角柱①の体積: 36 $cm^3$

(2) 直方体⑦の高さ: 7 cm