3つの問題があります。 問題16：2次関数 $y = 2x^2$ のグラフを指定された方向に平行移動させたときの2次関数の式を求めます。 (1) x軸方向に-5、y軸方向に4だけ平行移動 (2) x軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動 問題17：放物線 $y = x^2 - 1$ を平行移動して放物線 $y = x^2 + 2x + 3$ に重ねるには、どのように移動すればよいかを求めます。 問題18：2つの関数のグラフの頂点が一致するように、定数 $a, b$ の値を定めます。 $y = x^2 - 2ax + a^2 - 1$ $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x + b$

1. 問題の内容

3つの問題があります。

問題16：2次関数 $y = 2x^2$ のグラフを指定された方向に平行移動させたときの2次関数の式を求めます。

(1) x軸方向に-5、y軸方向に4だけ平行移動

(2) x軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動

問題17：放物線 $y = x^2 - 1$ を平行移動して放物線 $y = x^2 + 2x + 3$ に重ねるには、どのように移動すればよいかを求めます。

問題18：2つの関数のグラフの頂点が一致するように、定数 $a, b$ の値を定めます。

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 1$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x + b$

2. 解き方の手順

問題16：

平行移動の公式を使います。関数 $y = f(x)$ をx軸方向に $p$、y軸方向に $q$ だけ平行移動させると、新しい関数は $y - q = f(x - p)$ となります。

(1) $y = 2x^2$ をx軸方向に-5、y軸方向に4だけ平行移動すると、

$y - 4 = 2(x - (-5))^2$

$y - 4 = 2(x + 5)^2$

$y = 2(x^2 + 10x + 25) + 4$

$y = 2x^2 + 20x + 50 + 4$

$y = 2x^2 + 20x + 54$

(2) $y = 2x^2$ をx軸方向に3、y軸方向に-1だけ平行移動すると、

$y - (-1) = 2(x - 3)^2$

$y + 1 = 2(x - 3)^2$

$y = 2(x^2 - 6x + 9) - 1$

$y = 2x^2 - 12x + 18 - 1$

$y = 2x^2 - 12x + 17$

問題17：

$y = x^2 - 1$ と $y = x^2 + 2x + 3$ の頂点をそれぞれ求め、その差から移動量を求めます。

$y = x^2 - 1$ の頂点は $(0, -1)$

$y = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 - 1 + 3 = (x + 1)^2 + 2$ の頂点は $(-1, 2)$

x軸方向への移動量は $-1 - 0 = -1$

y軸方向への移動量は $2 - (-1) = 3$

したがって、x軸方向に-1、y軸方向に3だけ平行移動します。

問題18：

それぞれの関数の頂点を求め、頂点が一致するように $a, b$ の値を定めます。

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 1 = (x - a)^2 - 1$ の頂点は $(a, -1)$

$y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x + b = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x) + b = -\frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16 - 16) + b = -\frac{1}{2}(x - 4)^2 + 8 + b$

の頂点は $(4, 8 + b)$

頂点が一致するので、

$a = 4$

$-1 = 8 + b$

$b = -9$

3. 最終的な答え

問題16：

(1) $y = 2x^2 + 20x + 54$

(2) $y = 2x^2 - 12x + 17$

問題17：

x軸方向に-1、y軸方向に3だけ平行移動

問題18：

$a = 4$

$b = -9$