$x$ と $y$ の間に $3x + y = 6$ という関係があるとき、以下の問題を解く。 (1) $3x^2 + y^2$ の最小値を求める。 (2) $x \ge 0$, $y \ge 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ の間に $3x + y = 6$ という関係があるとき、以下の問題を解く。

(1) $3x^2 + y^2$ の最小値を求める。

(2) $x \ge 0$, $y \ge 0$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $3x + y = 6$ より、$y = 6 - 3x$ である。これを $3x^2 + y^2$ に代入して、$x$ のみの関数にする。

$f(x) = 3x^2 + (6 - 3x)^2 = 3x^2 + 36 - 36x + 9x^2 = 12x^2 - 36x + 36$

$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = 12(x^2 - 3x) + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 12(\frac{9}{4}) + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 - 27 + 36 = 12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$

$f(x)$ は $x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $9$ をとる。

(2) $x \ge 0$, $y \ge 0$ という条件がある。$y = 6 - 3x$ より、$6 - 3x \ge 0$ なので、$3x \le 6$、$x \le 2$。したがって、$0 \le x \le 2$ である。

$f(x) = 12(x - \frac{3}{2})^2 + 9$ であり、$0 \le x \le 2$ であるから、$f(x)$ の最大値は、$x = 0$ または $x = 2$ でとる。

$f(0) = 12(0 - \frac{3}{2})^2 + 9 = 12(\frac{9}{4}) + 9 = 27 + 9 = 36$

$f(2) = 12(2 - \frac{3}{2})^2 + 9 = 12(\frac{1}{4}) + 9 = 3 + 9 = 12$

したがって、$f(x)$ は $x = 0$ のとき最大値 $36$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $9$

(2) 最大値: $36$