直角三角形ABCがあり、点Pは秒速3cmで辺AB上を、点Qは秒速4cmで辺AC上を動く。点Aを同時に出発してからx秒後の三角形APQの面積を$y cm^2$とする。(1) xの変域とyをxの式で表す。(2) 3秒後の三角形APQの面積を求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、点Pは秒速3cmで辺AB上を、点Qは秒速4cmで辺AC上を動く。点Aを同時に出発してからx秒後の三角形APQの面積を$y cm^2$とする。(1) xの変域とyをxの式で表す。(2) 3秒後の三角形APQの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まずxの変域を求める。

点Pが点Aから点Bに到達するまでの時間を考える。ABの長さは15cmであり、点Pの速度は秒速3cmなので、かかる時間は $15 \div 3 = 5$ 秒である。

点Qが点Aから点Cに到達するまでの時間を考える。ACの長さは20cmであり、点Qの速度は秒速4cmなので、かかる時間は $20 \div 4 = 5$ 秒である。

したがって、xの変域は $0 \leq x \leq 5$ となる。

次に、yをxの式で表す。

x秒後のAPの長さは$3x$ cm、AQの長さは$4x$ cmである。

三角形APQの面積yは、$y = \frac{1}{2} \times AP \times AQ = \frac{1}{2} \times 3x \times 4x = 6x^2$となる。

(2)

3秒後の三角形APQの面積は、$y = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$ cm$^2$となる。

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq x \leq 5$

$y = 6x^2$

(2) $54 cm^2$