関数 $y = -x^2 + 2x$ において、$x$ の値が 3 から $3+h$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2x$ において、$x$ の値が 3 から $3+h$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$x$ の変化量に対する $y$ の変化量の割合で定義されます。

まず、$x=3$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$

次に、$x=3+h$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(3+h) = -(3+h)^2 + 2(3+h) = -(9 + 6h + h^2) + 6 + 2h = -9 - 6h - h^2 + 6 + 2h = -3 - 4h - h^2$

$y$ の変化量は、$y(3+h) - y(3) = (-3 - 4h - h^2) - (-3) = -3 - 4h - h^2 + 3 = -4h - h^2$

$x$ の変化量は、$(3+h) - 3 = h$

平均変化率は、

$\frac{y(3+h) - y(3)}{(3+h) - 3} = \frac{-4h - h^2}{h} = \frac{h(-4 - h)}{h}$

$h \neq 0$ であるので、$h$ で割ることができます。

$-4 - h$

3. 最終的な答え

$-4 - h$