一の位が4である3桁の整数があります。各桁の数の合計は11です。百の位と十の位の数字を入れ替えた3桁の整数は、元の整数より270小さくなります。元の3桁の整数を求めなさい。

1. 問題の内容

一の位が4である3桁の整数があります。各桁の数の合計は11です。百の位と十の位の数字を入れ替えた3桁の整数は、元の整数より270小さくなります。元の3桁の整数を求めなさい。

2. 解き方の手順

元の3桁の整数を$100a + 10b + 4$ とします。ただし、$a$は百の位の数字、$b$は十の位の数字です。

各桁の数の合計が11であることから、次の式が成り立ちます。

$a + b + 4 = 11$

$a + b = 7$

百の位と十の位を入れ替えた整数は、$100b + 10a + 4$ となります。

入れ替えた整数は元の整数より270小さいことから、次の式が成り立ちます。

$100a + 10b + 4 - (100b + 10a + 4) = 270$

$100a + 10b + 4 - 100b - 10a - 4 = 270$

$90a - 90b = 270$

$a - b = 3$

$a + b = 7$ および $a - b = 3$ の連立方程式を解きます。

2つの式を足し合わせると、

$2a = 10$

$a = 5$

$a = 5$を $a + b = 7$ に代入すると、

$5 + b = 7$

$b = 2$

したがって、元の3桁の整数は $100a + 10b + 4 = 100 \times 5 + 10 \times 2 + 4 = 500 + 20 + 4 = 524$ となります。

3. 最終的な答え

524