(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$、 $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 17$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b}|$ の値を求める。 (2) $|\vec{a}| = 1$、 $|\vec{b}| = \sqrt{2}$、$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$ のとき、$|\vec{a} - \vec{b}|$ の値、および$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求める。

1. 問題の内容

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$、 $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 = 17$ のとき、$|\vec{a} + \vec{b}|$ の値を求める。

(2) $|\vec{a}| = 1$、 $|\vec{b}| = \sqrt{2}$、$|2\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{10}$ のとき、$|\vec{a} - \vec{b}|$ の値、および$\vec{a}$と$\vec{b}$のなす角$\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

与えられた条件を代入すると、

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 17 + 2(4) = 17 + 8 = 25$

したがって、

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{25} = 5$

(2)

$|2\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算する。

$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = (2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b})$

$= 4\vec{a} \cdot \vec{a} + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= 4|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

与えられた条件を代入すると、

$(\sqrt{10})^2 = 4(1)^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + (\sqrt{2})^2$

$10 = 4 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 2$

$10 = 6 + 4\vec{a} \cdot \vec{b}$

$4 = 4\vec{a} \cdot \vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 1^2 - 2(1) + (\sqrt{2})^2$

$= 1 - 2 + 2 = 1$

したがって、

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{1} = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ であるから、

$1 = (1)(\sqrt{2})\cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であるから、

$\theta = 45^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$

(2) $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$, $\theta = 45^\circ$