$xy$平面上の領域$-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1$において、$1-ax-by-axy$の最小値が正となるような定数$a, b$を座標とする点$(a, b)$の範囲を図示する問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上の領域$-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1$において、$1-ax-by-axy$の最小値が正となるような定数$a, b$を座標とする点$(a, b)$の範囲を図示する問題です。

2. 解き方の手順

$f(x, y) = 1-ax-by-axy$ とおく。

領域 $-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1$ の四隅の点における値を考える。

$f(1, 1) = 1 - a - b - a = 1 - 2a - b$

$f(1, -1) = 1 - a + b + a = 1 + b$

$f(-1, 1) = 1 + a - b + a = 1 + 2a - b$

$f(-1, -1) = 1 + a + b - a = 1 + b$

$f(x, y)$ の最小値が正となるためには、上記の四隅の点における値がすべて正である必要がある。

$1 - 2a - b > 0$

$1 + b > 0$

$1 + 2a - b > 0$

$b > -1$

$b < 1 + 2a$

$b < 1 - 2a$

したがって、以下の連立不等式を満たす領域を図示する。

$-1 < b < 1+2a$

$-1 < b < 1-2a$

すなわち、

$b > -1$

$b < 1+2a$

$b < 1-2a$

$1+2a > -1 \implies a > -1$

$1-2a > -1 \implies a < 1$

$-1 < a < 1$

不等式 $b < 1+2a$ と $b < 1-2a$ を満たす領域を図示する。

$b = 1+2a$ と $b = 1-2a$ の交点は、$1+2a = 1-2a \implies a=0$ のとき $b=1$ である。

$b = 1+2a$ と $b = 1-2a$ をグラフに描き、$-1 < b$ とあわせて考慮すると、求める領域は、$b > -1$ かつ $b < 1+2a$ かつ $b < 1-2a$ を満たす領域である。

3. 最終的な答え

点 $(a, b)$ の範囲は、$b > -1$ かつ $b < 1+2a$ かつ $b < 1-2a$ を満たす領域である。

この領域は、直線 $b = 1+2a$, $b = 1-2a$, $b = -1$ で囲まれた領域であり、$x$軸($a$軸)に関して対称である。

具体的には、以下の領域を図示する。

- $a > 0$ のとき：$b > -1$ かつ $b < 1 - 2a$

- $a < 0$ のとき：$b > -1$ かつ $b < 1 + 2a$