3つの直線 $l, m, n$ が点 $A, B, C$ で交わっている。直線 $m$ の式は $y = -3x + 6$ であり、点 $B$ の座標は $(-2, 0)$ である。直線 $n$ は点 $B$ を通り、傾きが変化する。以下の問いに答える。 (1) 直線 $l$ の式を求める。 (2) 点 $C$ の $x$ 座標が 1 のとき、点 $C$ の $y$ 座標を求め、直線 $n$ の式を求める。 (3) (2) のとき、三角形 $ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

3つの直線 $l, m, n$ が点 $A, B, C$ で交わっている。直線 $m$ の式は $y = -3x + 6$ であり、点 $B$ の座標は $(-2, 0)$ である。直線 $n$ は点 $B$ を通り、傾きが変化する。以下の問いに答える。

(1) 直線 $l$ の式を求める。

(2) 点 $C$ の $x$ 座標が 1 のとき、点 $C$ の $y$ 座標を求め、直線 $n$ の式を求める。

(3) (2) のとき、三角形 $ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ は、直線 $m$ と $y$ 軸との交点を通る直線である。直線 $m$ の式 $y = -3x + 6$ において、$x = 0$ とすると $y = 6$ となる。したがって、点 $A$ の座標は $(0, 6)$ である。直線 $l$ は原点を通る直線なので、$y = ax$ と表せる。点 $A(0, 6)$ を通るので、$l$ の式は $x=0$である．

(2)

① 点 $C$ の $x$ 座標が 1 のとき、点 $C$ は直線 $m$ 上にあるので、$y = -3(1) + 6 = 3$ となる。したがって、点 $C$ の座標は $(1, 3)$ である。

② 直線 $n$ は点 $B(-2, 0)$ と点 $C(1, 3)$ を通る直線である。直線の傾きは $\frac{3 - 0}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$ である。よって、直線 $n$ の式は $y = x + b$ と表せる。点 $B(-2, 0)$ を通るので、$0 = -2 + b$ より $b = 2$ となる。したがって、直線 $n$ の式は $y = x + 2$ である。

(3)

点 A は $y$ 軸との交点なので、座標は (0,6)である。

点 B の座標は (-2,0)

点 C の座標は (1,3)

三角形ABCの面積は、AとBを結ぶ線分を底辺とすると、底辺の長さは $6-0=6$である。

高さはCからy軸までの水平距離なので、1である。

したがって、三角形ABCの面積は　$6 \times 1 \div 2 =3$

AとCを結ぶ線分を底辺とすると、底辺の長さは

$\sqrt{(1-0)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$

CとBを結ぶ線分を底辺とすると、底辺の長さは

$\sqrt{(1+2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}=3\sqrt{2}$

AとBを結ぶ線分を底辺とすると、底辺の長さは $\sqrt{(0+2)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40}=2\sqrt{10}$

三角形の面積を求める公式は、

$S = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$

$S = \frac{1}{2} |0(0-3) + (-2)(3-6) + 1(6-0)| = \frac{1}{2} |0 + 6 + 6| = \frac{1}{2} |12| = 6$

3. 最終的な答え

(1) $x=0$

(2) ① $(1, 3)$ ② $y = x + 2$

(3) 6