$\sqrt{18n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{18n}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{18n}$ が自然数となるためには、$18n$ がある自然数の2乗になる必要があります。まず、18を素因数分解します。

$18 = 2 \times 3^2$

したがって、

$18n = 2 \times 3^2 \times n$

$\sqrt{18n}$が自然数になるためには、$18n$ が平方数である必要があります。そのため、$n$ は少なくとも $2$ を含む必要があります。

$n = 2 \times k^2$　（$k$は自然数）とおくと

$18n = 2 \times 3^2 \times 2 \times k^2 = 2^2 \times 3^2 \times k^2 = (2 \times 3 \times k)^2 = (6k)^2$

したがって、$\sqrt{18n} = 6k$ となり、自然数となる。

$n$ が最小となるのは、$k=1$ のときなので、

$n = 2 \times 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

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