与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は、計算、絶対値、平方根、不等式、必要条件と十分条件に関するものである。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める。問題は、計算、絶対値、平方根、不等式、必要条件と十分条件に関するものである。

2. 解き方の手順

(1) $(-2xy^2)^3$を計算する。

$(-2xy^2)^3 = (-2)^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 = -8x^3y^6$

(2) $|\sqrt{5}-2|$の絶対値記号を外す。

$\sqrt{5} > 2$なので、$\sqrt{5}-2 > 0$。したがって、$|\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$

(3) $\sqrt{(-3)^2}$の値を求める。

$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$

(4) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$の分母を有理化する。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

(5) $3x-4 \geq 5x+6$を解く。

$3x-5x \geq 6+4$

$-2x \geq 10$

$x \leq -5$

(6) 連立不等式 $6x+9>2x+1$ と $3x-7 \leq 8x-12$を解く。

$6x+9>2x+1$ より $4x>-8$ なので $x>-2$

$3x-7 \leq 8x-12$ より $-5x \leq -5$ なので $x \geq 1$

したがって、 $-2 < x \leq 1$

(7) $x$は実数とする。「$x^2=11$」は「$x=\sqrt{11}$」であるための何かを判定する。

$x^2 = 11$ ならば $x = \pm \sqrt{11}$ である。

$x = \sqrt{11}$ ならば $x^2 = 11$ である。

したがって、$x^2=11$ は $x=\sqrt{11}$であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) $-8x^3y^6$

(2) $\sqrt{5}-2$

(3) $3$

(4) $2-\sqrt{3}$

(5) $x \leq -5$

(6) $-2 < x \leq 1$

(7) ②