放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + ax + 2$ の頂点が $(1, b)$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2 + ax + 2$ の頂点が $(1, b)$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた放物線の式を平方完成する。

まず、$y = \frac{1}{2}x^2 + ax + 2$ を $\frac{1}{2}$ で括り出す。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax) + 2$

次に、括弧の中を平方完成させる。

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) + 2$

$y = \frac{1}{2}((x + a)^2 - a^2) + 2$

$y = \frac{1}{2}(x + a)^2 - \frac{1}{2}a^2 + 2$

(2) 頂点の座標を求める。

平方完成した式から、頂点の座標は $(-a, -\frac{1}{2}a^2 + 2)$ であることがわかる。

(3) 頂点の座標が $(1, b)$ であることから、連立方程式を立てる。

$-a = 1$

$-\frac{1}{2}a^2 + 2 = b$

(4) 連立方程式を解く。

$-a = 1$ より、 $a = -1$

$-\frac{1}{2}a^2 + 2 = b$ に $a = -1$ を代入して、 $b = -\frac{1}{2}(-1)^2 + 2 = -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = \frac{3}{2}$