10進法で表された数$268$を$p$進法で表すと$532_{(p)}$となるとき、$p$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

10進法で表された数$268$を$p$進法で表すと$532_{(p)}$となるとき、$p$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$p$進法で表された数$532_{(p)}$を10進法で表すと、$5 \times p^2 + 3 \times p^1 + 2 \times p^0$となります。

これが$268$と等しいので、以下の方程式が成り立ちます。

$5p^2 + 3p + 2 = 268$

これを解くために、式を整理します。

$5p^2 + 3p + 2 - 268 = 0$

$5p^2 + 3p - 266 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を試みます。

$(5p + 38)(p - 7) = 0$

したがって、$p = 7$ または $p = -\frac{38}{5}$となります。

$p$は進数なので正の整数である必要があります。

したがって、$p = 7$となります。

また、$532_{(p)}$と表現されていることから、$p > 5,3,2$である必要があるので、$p > 5$を満たす必要があります。

$p = 7$はこの条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$p = 7$