問題26では、(1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ と (2) $\frac{10}{3\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。 問題27では、$\sqrt{45a}$ が自然数となるような最も小さい自然数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題26では、(1) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ と (2) $\frac{10}{3\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

問題27では、$\sqrt{45a}$ が自然数となるような最も小さい自然数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題26 (1)

分母を有理化するには、分母と分子に同じ数を掛けます。

ここでは、分母が $\sqrt{7}$ なので、分母と分子に $\sqrt{7}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$

問題26 (2)

分母を有理化するには、分母と分子に同じ数を掛けます。

ここでは、分母が $3\sqrt{5}$ なので、分母と分子に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{10 \times \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{10\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$

問題27

$\sqrt{45a}$ が自然数になるには、$45a$ がある自然数の2乗になる必要があります。

まず、45を素因数分解します。

$45 = 3^2 \times 5$

したがって、$\sqrt{45a} = \sqrt{3^2 \times 5 \times a}$

$\sqrt{45a}$ を自然数にするには、$a$ が少なくとも5の倍数である必要があります。

$a$ として最も小さい自然数は、5です。

$a=5$ のとき、$\sqrt{45a} = \sqrt{45 \times 5} = \sqrt{225} = 15$ となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

問題26 (1): $\frac{\sqrt{14}}{7}$

問題26 (2): $\frac{2\sqrt{5}}{3}$

問題27: $5$