数列 $\{a_n\}$ が $1, 6, 13, 22, 33, \dots$ であるとき、この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = \text{ア}n + \text{イ}$ であり、したがって、$a_n = n^2 + \text{ウ}n - \text{エ}$ である。ア、イ、ウ、エに当てはまる数を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $1, 6, 13, 22, 33, \dots$ であるとき、この数列の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = \text{ア}n + \text{イ}$ であり、したがって、$a_n = n^2 + \text{ウ}n - \text{エ}$ である。ア、イ、ウ、エに当てはまる数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ を求めます。

$b_1 = a_2 - a_1 = 6 - 1 = 5$

$b_2 = a_3 - a_2 = 13 - 6 = 7$

$b_3 = a_4 - a_3 = 22 - 13 = 9$

$b_4 = a_5 - a_4 = 33 - 22 = 11$

階差数列 $\{b_n\}$ は $5, 7, 9, 11, \dots$ となります。これは等差数列であり、初項は $5$、公差は $2$ です。したがって、

$b_n = 5 + (n-1) \times 2 = 5 + 2n - 2 = 2n + 3$

よって、アは 2、イは 3 です。

次に、$a_n$ を求めます。$a_n$ は数列 $\{b_n\}$ の和を用いて表すことができます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 3) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + 3 \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \times \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = n(n-1) + 3(n-1) = n^2 - n + 3n - 3 = n^2 + 2n - 3$

$a_n = 1 + n^2 + 2n - 3 = n^2 + 2n - 2$

したがって、$a_n = n^2 + 2n - 2$ となります。

ウは 2、エは 2 です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3

ウ: 2

エ: 2