次の3つの2次関数について、頂点、y切片、x切片の情報を求めてグラフを描く問題です。 (1) $y = x^2 + 2x - 3$ (2) $y = -2(x - 3)(x + 1)$ (3) $y = 2x^2 + 3x + 1$

1. 問題の内容

次の3つの2次関数について、頂点、y切片、x切片の情報を求めてグラフを描く問題です。

(1) $y = x^2 + 2x - 3$

(2) $y = -2(x - 3)(x + 1)$

(3) $y = 2x^2 + 3x + 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x - 3$

まず、平方完成をして頂点を求めます。

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 3 = (x + 1)^2 - 4$

したがって、頂点は $(-1, -4)$ です。

y切片は、$x = 0$ のときの $y$ の値なので、$y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$

y切片は $(0, -3)$ です。

x切片は、$y = 0$ のときの $x$ の値なので、$x^2 + 2x - 3 = 0$ を解きます。

$(x + 3)(x - 1) = 0$ より、$x = -3, 1$

x切片は $(-3, 0)$ と $(1, 0)$ です。

(2) $y = -2(x - 3)(x + 1)$

x切片は $x = 3, -1$ なので、$(3, 0)$ と $(-1, 0)$ です。

軸はx切片の中点なので、$x = (3 + (-1))/2 = 1$ です。

$x = 1$ を代入して頂点の $y$ 座標を求めます。

$y = -2(1 - 3)(1 + 1) = -2(-2)(2) = 8$

したがって、頂点は $(1, 8)$ です。

y切片は、$x = 0$ のときの $y$ の値なので、$y = -2(0 - 3)(0 + 1) = -2(-3)(1) = 6$

y切片は $(0, 6)$ です。

(3) $y = 2x^2 + 3x + 1$

まず、因数分解できるか確認します。

$y = (2x + 1)(x + 1)$

x切片は $x = -1/2, -1$ なので、 $(-1/2, 0)$ と $(-1, 0)$ です。

軸はx切片の中点なので、$x = (-1/2 + (-1))/2 = -3/4$ です。

$x = -3/4$ を代入して頂点の $y$ 座標を求めます。

$y = 2(-3/4)^2 + 3(-3/4) + 1 = 2(9/16) - 9/4 + 1 = 9/8 - 18/8 + 8/8 = -1/8$

したがって、頂点は $(-3/4, -1/8)$ です。

y切片は、$x = 0$ のときの $y$ の値なので、$y = 2(0)^2 + 3(0) + 1 = 1$

y切片は $(0, 1)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-1, -4)$、y切片: $(0, -3)$、x切片: $(-3, 0)$, $(1, 0)$

(2) 頂点: $(1, 8)$、y切片: $(0, 6)$、x切片: $(3, 0)$, $(-1, 0)$

(3) 頂点: $(-3/4, -1/8)$、y切片: $(0, 1)$、x切片: $(-1/2, 0)$, $(-1, 0)$

グラフは省略します。それぞれの頂点、y切片、x切片をプロットし、2次関数のグラフの概形を描いてください。