問題は大きく分けて3つのパートから構成されています。 (1) $y$ が $x$ の2乗に比例する関数について、式を求めたり、特定の値における $y$ の値を計算したりします。 (2) 4つの2次関数のグラフが与えられ、$y=2x^2$ のグラフを特定し、一般的な2次関数のグラフに関する記述の空欄を埋めます。 (3) 関数 $y=3x^2$ について、変化の割合を求めたり、$x$ の変域が与えられたときの $y$ の変域を求めたりします。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて3つのパートから構成されています。

(1) $y$ が $x$ の2乗に比例する関数について、式を求めたり、特定の値における $y$ の値を計算したりします。

(2) 4つの2次関数のグラフが与えられ、$y=2x^2$ のグラフを特定し、一般的な2次関数のグラフに関する記述の空欄を埋めます。

(3) 関数 $y=3x^2$ について、変化の割合を求めたり、$x$ の変域が与えられたときの $y$ の変域を求めたりします。

2. 解き方の手順

[1]

(1) $y$ が $x$ の2乗に比例するので、$y = ax^2$ と表せる。$x=2$ のとき $y=-8$ なので、$-8 = a(2^2) = 4a$。したがって、$a = -2$。よって、$y = -2x^2$。

(2) $x=-3$ のとき、$y = -2(-3)^2 = -2(9) = -18$。

(3) $y = -2x^2$ で、$x$ の値が4倍になると、新しい $x$ は $4x$ となる。新しい $y$ の値は $y' = -2(4x)^2 = -2(16x^2) = 16(-2x^2) = 16y$。よって、$y$ の値は16倍になる。

[2]

(i) $y=2x^2$ のグラフは、$y=x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に2倍に拡大したものであり、(i)のグラフである。

(ii) 一般的に、関数 $y=ax^2$ のグラフは、$a>0$ のとき上に開いたグラフになり、$a$ の絶対値が小さいほどグラフの開き方は大きい。

[3]

(1) $x$ が1から2まで増加するときの変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量} = \frac{3(2^2) - 3(1^2)}{2-1} = \frac{12-3}{1} = 9$。

(2) $x$ の変域が $-1 \le x \le 2$ のとき、$x=0$ を含むので、$y$ の最小値は0となる。$x=2$ のとき、$y = 3(2^2) = 12$、$x=-1$ のとき、$y = 3(-1)^2 = 3$。よって、$y$ の最大値は12。したがって、$0 \le y \le 12$。

3. 最終的な答え

[1]

(1) アイ: -2

(2) ウエオ: -18

(3) カキ: 16

[2]

ク: 1

ケ: 5

コ: 8

[3]

サ: 9

シ: 0

スセ: 12