2次関数 $y = x^2 + 4x + k$ の最小値が $3$ であるとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + k$ の最小値が $3$ であるとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 4x + k$

$y = (x^2 + 4x) + k$

$y = (x^2 + 4x + 4 - 4) + k$

$y = (x + 2)^2 - 4 + k$

$y = (x + 2)^2 + (k - 4)$

この式から、2次関数の頂点の座標は $(-2, k-4)$ であることがわかります。

また、係数が正であるため、この2次関数は下に凸の放物線であり、頂点で最小値を持ちます。

最小値が $3$ であることから、

$k - 4 = 3$

この式を $k$ について解くと、

$k = 3 + 4$

$k = 7$

3. 最終的な答え

$k = 7$