この問題は、2次方程式を解く問題、2次方程式の解から係数を求める問題、そして正方形から長方形を作り、その面積の関係から正方形の一辺の長さを求める問題の3つのパートに分かれています。

1. 問題の内容

この問題は、2次方程式を解く問題、2次方程式の解から係数を求める問題、そして正方形から長方形を作り、その面積の関係から正方形の一辺の長さを求める問題の3つのパートに分かれています。

2. 解き方の手順

[1] 2次方程式を解く

(1) $(x+1)^2 = 12$

$x+1 = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$x = -1 \pm 2\sqrt{3}$

(2) $x^2 + 5x - 36 = 0$

$(x+9)(x-4) = 0$

$x = -9, 4$

(3) $2x^2 - 12x + 18 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$

(4) $3x^2 - 3x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+12}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{6}$

[2] 2次方程式の解から係数を求める

解が-3, 5なので、

$(x+3)(x-5) = 0$

$x^2 - 2x - 15 = 0$

$x^2 + ax + b = 0$と比較して、

$a = -2, b = -15$

[3] 正方形の一辺の長さを求める

(1) 正方形の一辺の長さを$x$とすると、縦の長さが$x-2$、横の長さが$x+5$の長方形の面積は、$(x-2)(x+5)$となる。

問題文より、長方形の面積は正方形の面積の2倍よりも50小さいため、

$(x-2)(x+5) = 2x^2 - 50$

$x^2 + 3x - 10 = 2x^2 - 50$

$0 = x^2 - 3x - 40$

$(x-8)(x+5) = 2x^2 - 50$は、$(x-2)(x+5) = 2x^2 -50$を変形したものです。$x^2 - 3x - 40 = 0$から，$2x^2 = 6x + 80$なので$(x-2)(x+5) = 6x + 80 - 50 = 6x + 30$とすれば良いようです。

元の式は$(x-2)(x+5) = 2x^2 - 50$なので、 $(x-2)(x+5) = 2x^2 - 50$である。

よって、$(x-2)(x+5) = 2x^2 -50$

(2) $x^2 - 3x - 40 = 0$

$(x-8)(x+5) = 0$

$x = 8, -5$

$x>0$より、$x=8$

3. 最終的な答え

[1]

(1) アイ: -1, ウ: 2, エ: 3

(2) オカ: -9, キ: 4

(3) ク: 3

(4) ケ: 3, コサ: 21, シ: 6

[2]

スセ: -2, ソタチ: -15

[3]

(1) ツ: 2, テ: 5, トナ: 50

(2) 二: 8