2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられています。以下の4つの条件を満たすような $a$ の値の範囲をそれぞれ求めます。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解が1より大きく、もう1つの解が1より小さい。 (3) 2つの解がともに0と3の間にある。 (4) 2つの解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

はい、承知いたしました。与えられた2次方程式に関する問題を解きます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられています。以下の4つの条件を満たすような $a$ の値の範囲をそれぞれ求めます。

(1) 2つの解がともに1より大きい。

(2) 1つの解が1より大きく、もう1つの解が1より小さい。

(3) 2つの解がともに0と3の間にある。

(4) 2つの解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2ax + 4$ とおきます。また、判別式を $D$ とします。

(1) 2つの解がともに1より大きい。

* 条件1: $D \geq 0$

* 条件2: 軸 > 1

* 条件3: $f(1) > 0$

* $D = (-2a)^2 - 4(1)(4) = 4a^2 - 16 \geq 0$ より、$a^2 \geq 4$。よって、$a \leq -2$ または $a \geq 2$。

* 軸は $x = a$ なので、$a > 1$。

* $f(1) = 1 - 2a + 4 = 5 - 2a > 0$ より、$a < \frac{5}{2}$。

* 上記3つの条件をすべて満たすのは、$2 \leq a < \frac{5}{2}$。

(2) 1つの解が1より大きく、もう1つの解が1より小さい。

* $f(1) < 0$ であればよい。

* $f(1) = 5 - 2a < 0$ より、$a > \frac{5}{2}$。

(3) 2つの解がともに0と3の間にある。

* 条件1: $D \geq 0$

* 条件2: $0 < 軸 < 3$

* 条件3: $f(0) > 0$

* 条件4: $f(3) > 0$

* $D \geq 0$ より、$a \leq -2$ または $a \geq 2$。

* $0 < a < 3$

* $f(0) = 4 > 0$ (常に成立)

* $f(3) = 9 - 6a + 4 = 13 - 6a > 0$ より、$a < \frac{13}{6}$。

* 上記すべての条件を満たすのは、$2 \leq a < \frac{13}{6}$。

(4) 2つの解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

* 条件1: $f(2) < 0$

* 条件2: $f(0) > 0$

* 条件3: $f(4) > 0$

* $f(2) = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a < 0$ より、$a > 2$。

* $f(0) = 4 > 0$ (常に成立)

* $f(4) = 16 - 8a + 4 = 20 - 8a > 0$ より、$a < \frac{5}{2}$。

* 上記すべての条件を満たすのは、$2 < a < \frac{5}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $2 \leq a < \frac{5}{2}$

(2) $a > \frac{5}{2}$

(3) $2 \leq a < \frac{13}{6}$

(4) $2 < a < \frac{5}{2}$