(1) $17a + 6b = 57$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。 (2) $ab - a - 5b = 0$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。 (3) $xy - 2x - 3y = 0$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組が何組あるかを求める。

1. 問題の内容

(1) $17a + 6b = 57$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。

(2) $ab - a - 5b = 0$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。

(3) $xy - 2x - 3y = 0$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組が何組あるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) $17a + 6b = 57$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。

$17a = 57 - 6b$

$a = \frac{57 - 6b}{17}$

$a, b$ は自然数なので、$57 - 6b > 0$ かつ $57 - 6b$ が $17$ の倍数である必要がある。

$6b < 57$ より $b < \frac{57}{6} = 9.5$

$b$ は自然数なので、$b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ のいずれかである。

それぞれの $b$ に対して $57 - 6b$ を計算すると、

$b = 1$ のとき $57 - 6(1) = 51 = 3 \times 17$ なので $a = 3$ となる。

$b = 2$ のとき $57 - 6(2) = 45$

$b = 3$ のとき $57 - 6(3) = 39$

$b = 4$ のとき $57 - 6(4) = 33$

$b = 5$ のとき $57 - 6(5) = 27$

$b = 6$ のとき $57 - 6(6) = 21$

$b = 7$ のとき $57 - 6(7) = 15$

$b = 8$ のとき $57 - 6(8) = 9$

$b = 9$ のとき $57 - 6(9) = 3$

$57 - 6b$ が $17$ の倍数になるのは $b = 1$ のときだけである。

したがって、$a = 3, b = 1$

(2) $ab - a - 5b = 0$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。

$ab - a - 5b + 5 = 5$

$a(b - 1) - 5(b - 1) = 5$

$(a - 5)(b - 1) = 5$

$a, b$ は自然数なので、$a - 5$ と $b - 1$ は整数である。

$5$ は素数なので、$(a - 5, b - 1) = (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1)$ のいずれかである。

$(a - 5, b - 1) = (1, 5)$ のとき $a = 6, b = 6$

$(a - 5, b - 1) = (5, 1)$ のとき $a = 10, b = 2$

$(a - 5, b - 1) = (-1, -5)$ のとき $a = 4, b = -4$

$(a - 5, b - 1) = (-5, -1)$ のとき $a = 0, b = 0$

$a, b$ は自然数なので、$a = 6, b = 6$ または $a = 10, b = 2$

(3) $xy - 2x - 3y = 0$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組が何組あるかを求める。

$xy - 2x - 3y + 6 = 6$

$x(y - 2) - 3(y - 2) = 6$

$(x - 3)(y - 2) = 6$

$x, y$ は自然数なので、$x - 3$ と $y - 2$ は整数である。

$6 = 1 \times 6 = 2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 \times 1 = (-1) \times (-6) = (-2) \times (-3) = (-3) \times (-2) = (-6) \times (-1)$

$(x - 3, y - 2) = (1, 6)$ のとき $x = 4, y = 8$

$(x - 3, y - 2) = (2, 3)$ のとき $x = 5, y = 5$

$(x - 3, y - 2) = (3, 2)$ のとき $x = 6, y = 4$

$(x - 3, y - 2) = (6, 1)$ のとき $x = 9, y = 3$

$(x - 3, y - 2) = (-1, -6)$ のとき $x = 2, y = -4$

$(x - 3, y - 2) = (-2, -3)$ のとき $x = 1, y = -1$

$(x - 3, y - 2) = (-3, -2)$ のとき $x = 0, y = 0$

$(x - 3, y - 2) = (-6, -1)$ のとき $x = -3, y = 1$

$x, y$ は自然数なので、$(x, y) = (4, 8), (5, 5), (6, 4), (9, 3)$

したがって、4組である。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, b = 1$

(2) $(a, b) = (6, 6), (10, 2)$

(3) 4組