連立不等式 $ \begin{cases} x < 6 \\ 2x + 3 \ge x + a \end{cases} $ について、以下の問いに答えます。 (1) 解をもつような $a$ の範囲を求めます。 (2) 解に整数がちょうど2個含まれるような $a$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases} x < 6 \\ 2x + 3 \ge x + a \end{cases}$

について、以下の問いに答えます。

(1) 解をもつような $a$ の範囲を求めます。

(2) 解に整数がちょうど2個含まれるような $a$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 解をもつ条件

まず、2つ目の不等式を変形します。

$2x + 3 \ge x + a$

$2x - x \ge a - 3$

$x \ge a - 3$

連立不等式が解を持つためには、$a - 3 < 6$ である必要があります。

$a - 3 < 6$

$a < 9$

したがって、$a < 9$ のとき、連立不等式は解を持ちます。

(2) 解に整数がちょうど2個含まれる条件

連立不等式の解は、$a - 3 \le x < 6$ となります。

この範囲に含まれる整数が2個となるためには、次の条件が必要です。

整数が2個であるということは、$6$ に最も近い整数である $5$ と $4$ が含まれている必要があります。したがって、$3$ は含まれていない必要があります。

$3 < a-3 \le 4$でなければなりません。

$3 < a-3 \le 4$

$3+3 < a-3+3 \le 4+3$

$6 < a \le 7$

3. 最終的な答え

(1) 解をもつとき： $a < 9$

(2) 解に整数がちょうど2個含まれるとき： $6 < a \le 7$