多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2 + 2x + 4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの商が $x^2 + 2x + 4$ で、余りが $3$ であるとき、$P(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の関係から、次の式が成り立つ。

$P(x) = (x-2)(x^2 + 2x + 4) + 3$

これを展開して整理する。

$P(x) = x(x^2 + 2x + 4) - 2(x^2 + 2x + 4) + 3$

$P(x) = x^3 + 2x^2 + 4x - 2x^2 - 4x - 8 + 3$

$P(x) = x^3 + (2x^2 - 2x^2) + (4x - 4x) - 8 + 3$

$P(x) = x^3 - 5$

3. 最終的な答え

$P(x) = x^3 - 5$