与えられた関数 $y = -|x-2| + 3$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数のグラフを描きます。 (2) $-1 \le x \le 3$ における関数の値域を求めます。 (3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ に対して、$a \le x \le b$ における関数の値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = -|x-2| + 3$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数のグラフを描きます。

(2) $-1 \le x \le 3$ における関数の値域を求めます。

(3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ に対して、$a \le x \le b$ における関数の値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフを描く

関数 $y = -|x-2| + 3$ は、絶対値を含んでいるので、$x$ の範囲によって場合分けを行います。

$x \ge 2$ のとき、$|x-2| = x-2$ なので、

$y = -(x-2) + 3 = -x + 5$

$x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2) = 2-x$ なので、

$y = -(2-x) + 3 = x + 1$

したがって、

$y = \begin{cases} -x+5 & (x \ge 2) \\ x+1 & (x < 2) \end{cases}$

このグラフは、$x=2$ を軸とするV字型のグラフで、頂点は $(2, 3)$ です。

(2) $-1 \le x \le 3$ における値域を求める

$x=-1$ のとき、$y = -1 + 1 = 0$

$x=2$ のとき、$y = -2 + 5 = 3$

$x=3$ のとき、$y = -3 + 5 = 2$

$-1 \le x \le 2$ の範囲では、$y$ は $x$ とともに増加し、$x=2$ のとき最大値 $3$ をとります。

$2 \le x \le 3$ の範囲では、$y$ は $x$ とともに減少し、$x=3$ のとき $y=2$ となります。

したがって、$-1 \le x \le 3$ における値域は $0 \le y \le 3$ です。

(3) $a, b$ の値を求める

$a < 2 < b$ であり、$a \le x \le b$ における値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ を求めます。

$x=2$ のとき、$y=3$ であり、$x=2$ で最大値をとることから、値域の上限は $y=3$ となります。したがって、$b=3$ です。

$x=a$ のとき、$y=a+1$ であり、$x=b=3$ のとき、$y=-3+5 = 2$です。

$a \le x \le b$ における値域が $2-a \le y \le b$ であることから、$2-a$ は最小値となります。

$a<2$ であることから、$x=a$のときの$y$の値が最小値を与えます。したがって、$a+1=2-a$ です。

$2a=1$

$a=\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) グラフは $y = \begin{cases} -x+5 & (x \ge 2) \\ x+1 & (x < 2) \end{cases}$ で表されるV字型のグラフで、頂点は $(2, 3)$。

(2) 値域：$0 \le y \le 3$

(3) $a = \frac{1}{2}, b = 3$