$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{7}$, $\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{6}$, $\tan \gamma = 2 - \sqrt{3}$ であるとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha + \beta + \gamma$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ は鋭角であり、$\tan \alpha = \frac{\sqrt{3}}{7}$, $\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{6}$, $\tan \gamma = 2 - \sqrt{3}$ であるとき、$\alpha + \beta$ と $\alpha + \beta + \gamma$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\tan(\alpha + \beta)$ の値を求める。

タンジェントの加法定理より、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$$

与えられた値を代入すると、

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{7} + \frac{\sqrt{3}}{6}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}} = \frac{\frac{6\sqrt{3} + 7\sqrt{3}}{42}}{1 - \frac{3}{42}} = \frac{\frac{13\sqrt{3}}{42}}{\frac{39}{42}} = \frac{13\sqrt{3}}{39} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ より、$\alpha + \beta = \frac{\pi}{6}$ (30度)。これは $\alpha$, $\beta$ が鋭角なので $\alpha + \beta$ も鋭角であることから導ける。

次に、$\tan(\alpha + \beta + \gamma)$ の値を求める。

$$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \tan((\alpha + \beta) + \gamma) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan \gamma}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan \gamma}$$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ と $\tan \gamma = 2 - \sqrt{3}$ を代入すると、

$$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 2 - \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} (2 - \sqrt{3})} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 6 - 3\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{2\sqrt{3} - 3}{3}} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3 - 2\sqrt{3} + 3} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{6 - 2\sqrt{3}} = 1$$

$\tan(\alpha + \beta + \gamma) = 1$ より、$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$ (45度)。これは $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ が鋭角であることから導ける。

3. 最終的な答え

$\alpha + \beta = \frac{\pi}{6}$

$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{4}$