2つの2次方程式 $x^2 - mx + 2m - 3 = 0$ と $x^2 - (m-1)x + 1 = 0$ が与えられている。前者は異なる2つの実数解を持ち、後者は異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 - mx + 2m - 3 = 0$ と $x^2 - (m-1)x + 1 = 0$ が与えられている。前者は異なる2つの実数解を持ち、後者は異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - mx + 2m - 3 = 0$ が異なる2つの実数解を持つための条件を考える。判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-m)^2 - 4(2m - 3) = m^2 - 8m + 12 > 0$

$(m - 2)(m - 6) > 0$

よって、$m < 2$ または $m > 6$。

次に、$x^2 - (m-1)x + 1 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つための条件を考える。判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-(m-1))^2 - 4(1) = (m-1)^2 - 4 < 0$

$m^2 - 2m + 1 - 4 < 0$

$m^2 - 2m - 3 < 0$

$(m - 3)(m + 1) < 0$

よって、$-1 < m < 3$。

したがって、$m < 2$ または $m > 6$ と $-1 < m < 3$ を満たす $m$ の範囲を求める。

$m < 2$ かつ $-1 < m < 3$ より、$-1 < m < 2$。

$m > 6$ かつ $-1 < m < 3$ より、解なし。

3. 最終的な答え

$-1 < m < 2$