$x, y$ は実数とする。$x=y=1$ と $x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ の間に成り立つ矢印（必要条件、十分条件、必要十分条件）を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。$x=y=1$ と $x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ の間に成り立つ矢印（必要条件、十分条件、必要十分条件）を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x=y=1$ のとき、$x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2$ に代入すると、

$1^2 + 1^2 - 2(1+1) + 2 = 1 + 1 - 4 + 2 = 0$

となるので、$x=y=1$ ならば $x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ が成り立ちます。

したがって、$x=y=1$ は $x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ であるための十分条件です。

次に、$x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ を変形します。

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 0$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$

実数の2乗は0以上なので、$(x-1)^2 \geq 0$ かつ $(y-1)^2 \geq 0$ です。

したがって、$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 0$ となるためには、$(x-1)^2 = 0$ かつ $(y-1)^2 = 0$ でなければなりません。

よって、$x-1=0$ かつ $y-1=0$ となり、$x=1$ かつ $y=1$ が得られます。

つまり、$x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ ならば $x=y=1$ が成り立ちます。

したがって、$x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ は $x=y=1$ であるための十分条件です。

$x=y=1$ ならば $x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ であり、$x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ ならば $x=y=1$ なので、$x=y=1$ は $x^2 + y^2 - 2(x+y) + 2 = 0$ であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

$\Leftrightarrow$