与えられた命題「$-1 < x < 1 \implies x^2 < 1$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢の中から選びなさい。 ア: $x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$ イ: $x \le -1$ または $x \ge 1 \implies x^2 \ge 1$ ウ: $x^2 \ge 1 \implies x \le -1$ または $x \ge 1$

1. 問題の内容

与えられた命題「$-1 < x < 1 \implies x^2 < 1$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢の中から選びなさい。

ア: $x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$

イ: $x \le -1$ または $x \ge 1 \implies x^2 \ge 1$

ウ: $x^2 \ge 1 \implies x \le -1$ または $x \ge 1$

2. 解き方の手順

* **逆:** 元の命題の仮定と結論を入れ替えたもの。元の命題が「$P \implies Q$」のとき、逆は「$Q \implies P$」。

* **裏:** 元の命題の仮定と結論をそれぞれ否定したもの。元の命題が「$P \implies Q$」のとき、裏は「$\lnot P \implies \lnot Q$」。

* **対偶:** 元の命題の逆を取り、さらに仮定と結論をそれぞれ否定したもの。元の命題が「$P \implies Q$」のとき、対偶は「$\lnot Q \implies \lnot P$」。対偶は裏の逆、あるいは逆の裏とも言えます。

元の命題: $-1 < x < 1 \implies x^2 < 1$

逆: $x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$ (これは選択肢ア)

元の命題の仮定の否定: $x \le -1$ または $x \ge 1$

元の命題の結論の否定: $x^2 \ge 1$

裏: $x \le -1$ または $x \ge 1 \implies x^2 \ge 1$ (これは選択肢イ)

対偶: $x^2 \ge 1 \implies x \le -1$ または $x \ge 1$ (これは選択肢ウ)

3. 最終的な答え

逆: (ア)

裏: (イ)

対偶: (ウ)