直角二等辺三角形ABCがあり、その辺上に頂点を持つ長方形PQCRを作ります。長方形の面積が5cm²以上8cm²以下となる時の、APの長さ $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCがあり、その辺上に頂点を持つ長方形PQCRを作ります。長方形の面積が5cm²以上8cm²以下となる時の、APの長さ $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 長方形の面積を $x$ で表す

三角形ABCは直角二等辺三角形なので、BC = AC = 6cmです。また、三角形APQも直角二等辺三角形なので、PQ = AP = $x$ cmです。

長方形の縦の長さCRは、AC - AR で表せます。AR = PQ = $x$ なので、CR = 6 - $x$ cmです。

長方形PQCRの面積は、PQ × CR = $x$(6 - $x$) cm²となります。

(2) 面積の条件から不等式を立てる

長方形の面積が5cm²以上8cm²以下なので、次の不等式が成り立ちます。

$5 \le x(6-x) \le 8$

(3) 不等式を解く

まず、$5 \le x(6-x)$ を解きます。

$5 \le 6x - x^2$

$x^2 - 6x + 5 \le 0$

$(x-1)(x-5) \le 0$

よって、$1 \le x \le 5$

次に、$x(6-x) \le 8$ を解きます。

$6x - x^2 \le 8$

$x^2 - 6x + 8 \ge 0$

$(x-2)(x-4) \ge 0$

よって、$x \le 2$ または $x \ge 4$

(4) 2つの不等式の共通範囲を求める

$1 \le x \le 5$ と、$x \le 2$ または $x \ge 4$ の共通範囲を求めます。

$1 \le x \le 2$ または $4 \le x \le 5$

3. 最終的な答え

$1 \le x \le 2$ または $4 \le x \le 5$