方程式 $3x + 4y = 1$ のすべての整数解を、$x = \dots$, $y = \dots$ の形で表したものとして、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

方程式 $3x + 4y = 1$ のすべての整数解を、$x = \dots$, $y = \dots$ の形で表したものとして、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、$3x + 4y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ を一つ見つけます。例えば、$x = -1, y = 1$ はこの方程式を満たします。つまり、$3(-1) + 4(1) = 1$ です。

次に、与えられた方程式 $3x + 4y = 1$ から、$3(-1) + 4(1) = 1$ を引くと、

$3(x + 1) + 4(y - 1) = 0$

$3(x + 1) = -4(y - 1)$

となります。

3 と 4 は互いに素なので、$x + 1$ は 4 の倍数であり、$y - 1$ は 3 の倍数である必要があります。したがって、

$x + 1 = 4k$

$y - 1 = -3k$

と書けます（$k$ は整数）。

これを $x$ と $y$ について解くと、

$x = 4k - 1$

$y = -3k + 1$

となります。

選択肢の形に合わせるため、$k' = k + 1$ とおくと、$k = k' - 1$ なので、

$x = 4(k' - 1) - 1 = 4k' - 4 - 1 = 4k' - 5$

$y = -3(k' - 1) + 1 = -3k' + 3 + 1 = -3k' + 4$

となります。

あるいは、最初に $x=3, y=-2$ が $3x+4y=1$ を満たすことを見つけると、

$3x+4y=1$ から $3(3)+4(-2)=1$ を引いて、

$3(x-3)+4(y+2)=0$

$3(x-3)=-4(y+2)$

$x-3=4k$

$y+2=-3k$

$x=4k+3$

$y=-3k-2$

3. 最終的な答え

$x = 4k+3$

$y = -3k-2$

(kは整数)

したがって、答えは選択肢 3 です。