数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とし、$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$ がすべての正の整数 $n$ について成り立つとき、以下の問いに答えよ。 (1) $a_1$, $a_2$ を求めよ。 (2) $a_n$ を求めよ。 (3) $S_n$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とし、$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$ がすべての正の整数 $n$ について成り立つとき、以下の問いに答えよ。

(1) $a_1$, $a_2$ を求めよ。

(2) $a_n$ を求めよ。

(3) $S_n$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ は $S_1$ に等しいので、$a_1 = S_1$ で求められる。また、$a_2$ は $S_2 - S_1$ で求められる。

$S_1 = -1^3 + 10(1)^2 - 20(1) = -1 + 10 - 20 = -11$

よって、$a_1 = -11$

$S_2 = -2^3 + 10(2)^2 - 20(2) = -8 + 40 - 40 = -8$

よって、$a_2 = S_2 - S_1 = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$

(2) $n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ で求められる。

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$

$S_{n-1} = -(n-1)^3 + 10(n-1)^2 - 20(n-1) = -(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 10(n^2 - 2n + 1) - 20(n-1) = -n^3 + 3n^2 - 3n + 1 + 10n^2 - 20n + 10 - 20n + 20 = -n^3 + 13n^2 - 43n + 31$

$a_n = S_n - S_{n-1} = (-n^3 + 10n^2 - 20n) - (-n^3 + 13n^2 - 43n + 31) = -n^3 + 10n^2 - 20n + n^3 - 13n^2 + 43n - 31 = -3n^2 + 23n - 31$

$n=1$ のとき、$a_1 = -3(1)^2 + 23(1) - 31 = -3 + 23 - 31 = -11$ となり、(1) で求めた $a_1$ と一致する。

よって、$a_n = -3n^2 + 23n - 31$

(3) $S_n$ の最大値を求める。

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n = -n(n^2 - 10n + 20)$

$a_n = -3n^2 + 23n - 31$

$a_n > 0$ となる $n$ を求める。

$-3n^2 + 23n - 31 > 0$

$3n^2 - 23n + 31 < 0$

$n = \frac{23 \pm \sqrt{23^2 - 4(3)(31)}}{2(3)} = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 372}}{6} = \frac{23 \pm \sqrt{157}}{6}$

$\sqrt{157} \approx 12.53$ なので、

$n \approx \frac{23 \pm 12.53}{6}$

$n \approx \frac{35.53}{6} \approx 5.92$ または $n \approx \frac{10.47}{6} \approx 1.74$

よって、$2 \le n \le 5$ で $a_n > 0$ となる。

$a_1 = -11$

$a_2 = 3$

$a_3 = -3(3)^2 + 23(3) - 31 = -27 + 69 - 31 = 11$

$a_4 = -3(4)^2 + 23(4) - 31 = -48 + 92 - 31 = 13$

$a_5 = -3(5)^2 + 23(5) - 31 = -75 + 115 - 31 = 9$

$a_6 = -3(6)^2 + 23(6) - 31 = -108 + 138 - 31 = -1$

$S_1 = -11$

$S_2 = -8$

$S_3 = S_2 + a_3 = -8 + 11 = 3$

$S_4 = S_3 + a_4 = 3 + 13 = 16$

$S_5 = S_4 + a_5 = 16 + 9 = 25$

$S_6 = S_5 + a_6 = 25 - 1 = 24$

よって、$S_n$ の最大値は $S_5 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = -11$, $a_2 = 3$

(2) $a_n = -3n^2 + 23n - 31$

(3) $S_n$ の最大値は $25$