$a = \sqrt{11} + \sqrt{5}$、 $b = \sqrt{11} - \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求める。 (1) $a^2 - b^2$ (2) $(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$ (3) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

1. 問題の内容

$a = \sqrt{11} + \sqrt{5}$、 $b = \sqrt{11} - \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求める。

(1) $a^2 - b^2$

(2) $(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$

(3) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

2. 解き方の手順

(1) $a^2 - b^2$

$a^2 - b^2$ を因数分解すると、

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

$a+b = (\sqrt{11} + \sqrt{5}) + (\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{11}$

$a-b = (\sqrt{11} + \sqrt{5}) - (\sqrt{11} - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

よって、

$a^2 - b^2 = (2\sqrt{11})(2\sqrt{5}) = 4\sqrt{55}$

(2) $(a+b)^2 - (a^2 + b^2)$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a+b)^2 - (a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$

$ab = (\sqrt{11} + \sqrt{5})(\sqrt{11} - \sqrt{5}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2 = 11 - 5 = 6$

よって、

$(a+b)^2 - (a^2 + b^2) = 2ab = 2(6) = 12$

(3) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

$a^2 + b^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{5})^2 + (\sqrt{11} - \sqrt{5})^2 = (11 + 2\sqrt{55} + 5) + (11 - 2\sqrt{55} + 5) = 16 + 16 + 2 \times \sqrt{55}- 2\times \sqrt{55} = 32$

$ab = 6$

よって、

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{55}$

(2) $12$

(3) $\frac{16}{3}$